Трудовой договор

Нет.

Чем мотивирует работодатель, отказываясь вносить запись в трудовую книжку?
Вы уверенны, что с Вами заключается именно трудовой договор, а не договор на оказание услуг?

вас пытаются обмануть.

это точно
если есть Трудовой договор, должна быть запись в трудовой книжке
если же Договор оказания услуг, то Вы как минимум должны быть Индивидуальным предпринимателем, чтобы с Вами этот договор могли заключить и тогда все свои взносы Вы платите сами

Ложь! _{учи матчасть, студент.} Выполнять услуги по гражданско-правовому договору может любой гражданин, предпринимателем быть для этого не обязательно.

Значит это не трудовой договор, а гражданско-правовой договор (договор на оказание услуг).
Никакие гарантии, предусмотренные Трудовым кодексом РФ, на вас не распространяются. "Пришел, сделал, получил расчет и ушел".

если человека принимают в штат, ему обязаны сделать запись в трудовую книжку в течении пяти дней со дня выхода на работу

Если именно трудовой, то по закону теоретически имеете право. Но через суд скорее всего, если изначально работодатель так делает, принимая вас на работу. Возможно, у вас гражданско-правовой там договор(тогда указанных вами гарантий у вас нет).
Для справки напишу некоторые отличия, чтобы вы сопоставили со своей ситуацией:

- Работник подчиняется установленным правилам внутреннего трудового распорядка
По гражданско-правовому - обязанности подчиняться внутреннему трудовому распорядку нет.
- В трудовых отношениях работник занимает подчиненное положение по отношению к работодателю.
В гражданско-правовых отношениях, как правило, действует принцип равенства сторон
- трудовой договор - работник имеет право на получение заработной платы не реже 2 раз в месяц.
гражданско-правовой - порядок выплаты вознаграждения определяется сторонами
- В трудовых отношениях работник выполняет трудовую функцию.
Гражданско-правовой договор направлен на получение конкретного результата